Als Einstieg in die Differential- und Integralrechnung ist hier ein Beispiel für den senkrechten Freien Fall ohne Reibung angegeben; und zwar anhand eines Beispiels.
Mit welcher Geschwindigkeit taucht ein Turmspringer, der von einem 10m hohen Turm springt, in die Wasseroberfläche ein? Die Luftreibung ist zu vernachlässigen. Die Erdbeschleunigung beträgt 9,81 m/s!
Die Überlegung beginnt mit ganz einfachen Beziehungen, die den Zusammenhang zwischen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung herstellen. Diese Formeln kennt man aus den Formelsammlungen. a ist die Beschleunigung, v die Geschwindigkeit und s der Weg. Das Delta ist der Differenzenquotient.
Jetzt tut man sich leichter, wenn man den Begriff des Differentials einführt, also v und b als zeitliche Ableitungen des Weges resp. der Geschwindigkeit ansieht. Einmal hat es den Vorteil, dass sich die Werte stetig ändern können - wie beim Formel 1 Auto (bei unserer Aufgabe ist die (Erd-)Beschleunigung allerdings konstant). Zum zweiten kann man durch Umstellen der Gleichung leicht die Umkehrung des Differentials, also die Integration bilden. Das erst bringt uns zu den Formeln, die wir zur Lösung der Aufgabe tatsächlich benötigen.
Nun stellen wir beide Gleichungen um und integrieren auf beiden Seiten. Als Grenzen setzen wir zur Vereinfachung 0,t und v ein.
Jetzt integrieren wir die Gleichungen. Eigentlich kommen noch Konstanten dazu, die wir aber gleich Null setzen, denn die Anfangsgeschwindigkeit und der Anfangsweg sollen Null sein. Links findet man die Ausdrücke (Glchg 1+2) für die Geschwindigkeit v und den Weg s in Abhängigkeit von der Beschleunigung a.
Nun fehlt noch eine Bewegungsgleichung, in die wir die Erdbeschleunigung einsetzen können.
Als Lösungsgleichung nehmen wir hier die Newton'schen Bewegungsgleichung. Da sich Kraft und Beschleunigung in der gleichen Richtung verlaufen, können wir die Vektoren (Fettdruck) weglassen. Auch die Masse kürzt sich heraus. Es bleibt eine ganz einfache Beziehung übrig, die wir in die Integralausdrücke einsetzen.
Das sind genug Formeln (Glchg 1-3) zum Umstellen (ineinander einsetzen). Mit den Werten aus der Aufgabenstellung bekommt man den Wert in m/s, der sich leicht in km/h umrechnen lässt, also etwa 50km/h: